نوار موبیوس

يكي از پديده هاي جالب در رياضيات «نوار موبيوس» است كه در اواخر قرن هجدهم توسط «فرديناند موبيوس» معرفي شد. گفته مي‏شود كه نوار موبيوس فقط يك رو دارد. در اين مقاله قصد بر اين است كه با طرح مباحث پيش زمينه اي هندسه به بررسي كيفي نوار موبيوس بپردازيم و در ادامه قدري در خصوص خواص جبري و رياضي آن صحبت كنيم.نوار موبيوس حاوي پيامهاي مهمي‏ براي ماست. «بي مرزي و نامتناهي بودن» فضا و كاينات از مهمترين اين پيامهاست كه بيان هندسي و رياضي آن در اين مقاله مورد بحث قرار مي‏گيرد.

الف) هندسه و مثلثات مسطح بيضوي:
«بي مرزي فضا از يقين تجربي بزرگتري برخوردار است تا از تجربه اي خارجي. اما نامتناهي بودن آن به هيچ روي چنين نيست.» ريمان
پيش از پرداختن به مبحث نوار موبيوس قصد داريم مطالبي را در خصوص هندسه و مثلثات مسطح بيضوي مورد بررسي قرار دهيم :
اصل موضوع سرشتنماي هندسة اقليدسي حكم مي‏كند كه از هر نقطه يك، و فقط يك خط مي‏توان كشيد كه با خط مفروضي موازي باشد. از سوي ديگر صفت شاخص هندسة مسطح هذلولوي اين فرض است كه از يك نقطه تعدادي نامتناهي موازي با يك خط مي‏توان رسم كرد. اكنون بر عهدة ماست كه اگر هم به اختصار، به بررسي نتايج و فرض سومي‏بپردازيم؛ و آن اين است كه از يك نقطه هيچ خط نمي‏توان كشيد . كه با خط ديگري موازي باشد، اين مطلب را هم ارز با فرض زاوية منفرجه ساكري مي‏پذيريم. او و ديگران توانستند، هندسه اي را كه بر اين مبنا قرار مي‏گرفت كنار بگذارند زيرا كه آنان به صراحت يا به نحوي مقدر خط راست را نامتناهي مي‏دانستند . و بايد به يادآورد كه ما ثابت كرديم كه اين دو فرض با هم سازگار نيستند. براي روشن تر ساختن مطلب خاطر نشان مي‏كنيم كه اگر خط راست نامتناهي باشد. اثبات حكم 16 كتاب يكم اقليدس معتبر است و در نتيجه حكم 17 همان كتاب نيز چنين است . اما در اين حالت هميشه، دست كم ، يك خط مي‏توان بر نقطه اي واقع در خارج خطي و موازي آن گذراند.
ريمان بود كه براي اولين بار اهميت فرق گذاشتن ميان مفهوم هاي بي مرز بودن و نامتناهي بودن را در ارتباط با مفهوم هاي فضايي خاطر نشان ساخت. هرقدر هم كه ما قوياً معتقد به بي انتها بودن خط راست باشيم لزوماً نتيجه نمي‏توان گرفت كه خط نامتناهي است.

بنابراين پيش از آنكه رسماً اصل موضوع سرشت نماي هندسة بيضوي را بيان كنيم به جاي فرض مقدر اقليدس بر نامتناهي بودن خط فرض ملايم تري را قرار مي‏دهيم :

اصل موضوع . هر خط راستي بي مرز است.
اصل موضوع سرشتنماي هندسة هذلولوي با همة اصل موضوعهاي هندسة اقليدسي سازگار است. مگر اصلي كه خود جانشين آن شده است . در حقيقت شباهت آن دو هندسه در مباني و احكام اولشان بود كه ما را قادر ساخت كه بي مقدمه‏چينيهاي دور و دراز و ابهام آور، شرحي درباره هندسه هذلولوي عرضه كنيم اما نقل از هندس اقليدسي به هندسه بيضوي به اين آساني دست نمي‏دهد. اصل موضوع سرشتنماي هندسة بيضوي كه در قسمت بعد خواهد آمد، نه تنها با آن اصل موضوع هندسة اقليدسي كه جايش را گرفته است ، و با آن كه مقرر مي‏دارد كه خط راست نامتناهي است ، ناسازگار است بلكه ، چنانكه خواهيم ديد ، با اصلهاي ديگر نيز چنين است. وانگهي با نظري انتقادي بايد در اين نكته نگريست كه آن احكام هندسة اقليدسي كه به صورتي نهفته به نامتنهاي بودن خط متكي هستند، به ويژه حكم 16 كتاب يكم و نتايج آن به طور كلي ديگر معتبر شناخته نمي‏شوند.

اصل موضوع سرشتنماي هندسة بيضوي و نتيجه هايي كه بيفاصله بر آن مترتبند :
با تغييري كه در بالا داديم اكنون آماده‏ايم كه اصل موضوع سرشتنماي هندسة بيضوي را معرفي كنيم.
اصل موضوع : دو خط راست هميشه تقاطع مي‏كنند.
فرض كنيد L خط راستي باشد . در دو نقطه دلخواهB,A از اين خط خطهاي عمود بر آن رارسم مي‏كنيم.

الف )
بنابر اصل موضوع سرشت نما اين خطها در نقطه اي مانند O تقاطع مي‏كنند و چون در مثلث AOB زاويه هاي B , A متساويند نتيجه مي‏شود كه OA و OB برابرند.2
هرگاه AB را از هر طرف. مثلاً از طرف B ، تا C امتداد دهيم بطوريكه BC مساوي AB باشد، و اگر OC را رسم كنيم به آساني مي‏توان نشان داد كه OC عمود است بر L و مساوي است با OA و OB .باتكرار اين ترسيم به اين نتيجه مي‏رسيم كه هر گاه پاره خطي مانند ABازخطي در نظرگرفته شودوPنقطه اي ازLباشد چنان كه APمساوي mABشود (mعددصحيح مثبتي است)آنگاه عموديكه درpبرLاخراج گرددبرO نقطه برخورد عمودهاي برLدرAوBمي‏گذرد وOpبرابر است با OA .بعدABرابه nجزءمتساوي تقسيم كنيد و نقاط تقسيم راQ1,Q2,Q3…….Qn-1بناميد. عمود بر L در Q عمود AO را در O قطع خواهد كرد زيرا كه اگر آن را در نقطه اي ديگر قطع مي‏كرد عمودي هم كه از B خارج شده بود بر اين نقطه مي‏گذشت، و اين از آنچه جلوتر ثابت شد واضح تر است همين حكم بر عمودهاي نقاط ديگر تقسيم جاري است . چون از اين راه استدلال كنيم نتيجه ميگيريم كه هرگاه AB و AP نسبت به هم اندازه پذير باشند عمودي كه از P اخراج شود بر O خواهد گذشت. و OP برابر OA خواهد بود وقتي، كه AB و AP نسبت به هم اندازه پذيري نباشند با روشهاي به حد رفتن ، مطابق معمول به همين نتايج مي‏رسيم. بدين ترتيب عمودهايي كه از همة نقاط خطي بر آن اخراج شوند در يك نقطه به نام قطب خط متقاربند. هر خطي كه يك نقطه از خطي را به قطب آن وصل كند، يا، به صورتي ديگر، هر شعاعي كه از قطب خطي خارج شود، بر آن خط عمود است. خواننده بي اشكال مي‏تواند نشان دهد كه نه تنها هر يك از عمودها را در نظر بگيريم همواره فاصلة عمودي قطب از خط يكي است. بلكه براي همة خطها فاصله قطب از خط يك مقدار است. اين فاصلة عمودي را با q نشان مي‏دهيم. در دنبال پژوهشي كه مي‏كنيم O را (شكل ب)
قطب خط L مي‏انگاريم. دو خط بر O بگذرانيد ، اينها L را در B, A به زاوية قائمه قطع خواهند كرد . OA را از A تا َO امتداد مي‏دهيم به قسمي‏كه َAO مساوي q شود. آنگاه اگر از َO به B وصل كنيم به آساني مي‏توان نشان داد كه B َO عمود است بر L وOو B وَO بر يك خط راستند ، و B َO به طول q است . پس اگر به طور موقت امكان اين را كه ,OَO يك نقطه باشند طرد كنيم به نظر مي‏رسد كه هر خطي دو قطب داشته باشد . به علاوه OA,OB يك عمود مشترك دارند و در دو نقطه تقاطع مي‏كنند ، و يك دو ضلعي يا دو زاويه اي تشكيل مي‏دهند كه هر ضلعش به طول q2 است . اين حكم ، چنانكه هم اكنون نشان خواهيم داد، براي هر جفت خط صادق است.

فرض كنيد L,m
دو خط دلخواه باشند . اينها در نقطه اي چونo تلاقي خواهند كرد . روي هر خط و در هر امتداد ابتدا از O پاره خطي مساوي Q جدا كنيد. به خصوص فرض كنيد OD,OC,OB,OA به طول q باشد. در اينصورتD,C,B,A روي خطي چون n خواهند بود كه O قطب آن است. يك نتيجه آن كه m,L در نقطة ديگري مانند َO ، كه قطب دوم n است، تلاقي خواهند كرد.

1 در اين شكل خطها چنان رسم شده اند كه گويي منحني هستند. خطهاي هندسة بيضوي به اندازة خطهاي هندسة اقليدسي و هندسة هذلولوي راستند. غالباً مناسب است كه، وقتي نشان دادن رابطه هاي آنها با يكديگر در فضايي محدود اهميت داشته باشد ، آنها را به صورت منحني نمايش دهيم . در اين موارد نشان دادن رابطة بين آنها مهمتر است از مستقيم بودنشان.

2 به زودي ظاهر خواهد شد كه B , A ممكن است بر حسب اتفاق چنان واقع شده باشند كه دو عمود يك خط شوند. از اشكال مي‏توان با عوض كردن وضع يكي از نقطه ها احتراز كرد. برهان حكم 6 كتاب يكم اقليدس در اينجا معتبر خواهد بود هر گاه Aو O و B بر يك خط نباشند.

منبع: سيويل مستر